Cálculo Ejemplos

$π \int_{0}^{1} [{(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2}] d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$π \int_{0}^{1} {(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4 \cdot 2} - {(x^{7})}^{2} d x$

Paso 2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - {(x^{7})}^{2} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{7 \cdot 2} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{14} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$π (\int_{0}^{1} x^{8} d x + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$π (\frac{1}{9} x^{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{9}$ y $x^{9}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{14} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{14}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{1}{15} x^{15}]_{0}^{1}))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{15}$ y $x^{15}$ .

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{9}}{9}$ en $1$ y en $0$ .

$π ((\frac{1^{9}}{9}) - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{15}}{15}$ en $1$ y en $0$ .

$π (\frac{1^{9}}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $9$ .

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Paso 8.2.3.3.1

Factoriza $9$ de $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 (0)}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.3.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{1}{9} - 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{1}{9} + 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.5

Suma $\frac{1}{9}$ y $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

Paso 8.2.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{15}))$

Paso 8.2.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $15$ .

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Paso 8.2.3.8.1

Factoriza $15$ de $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 (0)}{15}))$

Paso 8.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.8.2.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Paso 8.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

Paso 8.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{1}))$

Paso 8.2.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - 0))$

Paso 8.2.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} + 0))$

Paso 8.2.3.10

Suma $\frac{1}{15}$ y $0$ .

$π (\frac{1}{9} - \frac{1}{15})$

Paso 8.2.3.11

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15})$

Paso 8.2.3.12

Para escribir $- \frac{1}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $45$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.13.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{5}{9 \cdot 5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.3.13.2

Multiplica $9$ por $5$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.3.13.3

Multiplica $\frac{1}{15}$ por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{15 \cdot 3})$

Paso 8.2.3.13.4

Multiplica $15$ por $3$ .

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{45})$

Paso 8.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π \frac{5 - 3}{45}$

Paso 8.2.3.15

Resta $3$ de $5$ .

$π \frac{2}{45}$

Paso 8.2.3.16

Combina $π$ y $\frac{2}{45}$ .

$\frac{π \cdot 2}{45}$

Paso 8.2.3.17

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 π}{45}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 π}{45}$

Forma decimal:

$0.13962634 \dots$

Paso 10