Cálculo Ejemplos

$- \frac{y}{x + 2 y}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = - 1$ y $g (y) = \frac{y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + 2 y}] + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.2

Multiplica $x + 2 y$ por $1$ .

$- \frac{x + 2 y - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- \frac{x + 2 y - y (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - y \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{x + 2 y - y (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 y \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 y \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.9.2

Resta $2 y$ de $2 y$ .

$- \frac{x + 0}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.9.3

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \cdot 0$

Paso 3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.1

Multiplica $\frac{y}{x + 2 y}$ por $0$ .

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Paso 3.11.2

Suma $- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}}$