Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Paso 1

Divide $x$ por $x + 10$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 10$ .

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Paso 5

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Paso 6

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Paso 7

Sea $u = x + 10$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x + 10$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 7.1.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Paso 7.3

Suma $0$ y $10$ .

$u_{lower} = 10$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Paso 7.5

Suma $5$ y $10$ .

$u_{upper} = 15$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $x$ en $5$ y en $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $15$ y en $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Paso 9.3

Suma $5$ y $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $15$ es $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $10$ es $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.94534891 \dots$

Paso 13