Cálculo Ejemplos

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

Paso 3.3.8

Multiplica ${(2 x + 1)}^{4}$ por $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Factoriza ${(2 x + 1)}^{3}$ de $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza ${(2 x + 1)}^{3}$ de $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza ${(2 x + 1)}^{3}$ de ${(2 x + 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

Paso 3.4.1.3

Factoriza ${(2 x + 1)}^{3}$ de ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

Paso 3.4.2.2

Suma $8 x$ y $2 x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$