Cálculo Ejemplos

$1 + \sqrt{2 x}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sqrt{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.12

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.13

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$0 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.15.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.15.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$0 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.4

Resta $1$ de $2$ .

$0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Suma $0$ y $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$