Cálculo Ejemplos

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 y$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Paso 2.6.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

Paso 2.6.3

Multiplica $20$ por $1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

Paso 2.7

Reordena los términos.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

Paso 3

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

Paso 5.1.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $- 6 y y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $- 9 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Paso 5.2.4

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Paso 5.2.5

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza $y^{2} - 2 y - 3$ con el método AC.

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Paso 5.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 5.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ por $3 (y - 3) (y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ por $3 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$