Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 6 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 1.3.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Paso 1.4.2.1.3

Divide $36$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 1.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Paso 2

Sustituye ${(x - 3)}^{2} - 9$ por $x^{2} - 6 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11$

Paso 3

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11 + 9$

Paso 4

Completa el cuadrado de $y^{2} + 4 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 4.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 4.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 4.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Paso 5

Sustituye ${(y + 2)}^{2} - 4$ por $y^{2} + 4 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 11 + 9$

Paso 6

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 4$

Paso 7

Completa el cuadrado de $z^{2} - 2 z$ .

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Paso 7.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 7.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 7.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 7.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 7.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 7.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 7.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 7.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 7.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 7.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 7.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 7.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 7.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(z - 1)}^{2} - 1$ .

${(z - 1)}^{2} - 1$

Paso 8

Sustituye ${(z - 1)}^{2} - 1$ por $z^{2} - 2 z$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - 1 = 11 + 9 + 4$

Paso 9

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 11 + 9 + 4 + 1$

Paso 10

Simplifica $11 + 9 + 4 + 1$ .

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Paso 10.1

Suma $11$ y $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20 + 4 + 1$

Paso 10.2

Suma $20$ y $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24 + 1$

Paso 10.3

Suma $24$ y $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

Paso 11