Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Paso 1.1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Paso 1.1.3.1.4

Mueve el término $14$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Paso 1.1.3.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Paso 1.1.3.1.6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $14$ por $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 3} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Resta $3$ de $28$ .

$\frac{0}{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Paso 1.1.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{2 x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.13

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.15

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.15.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.3.3.15.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.15.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.15.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.3.15.4

Resta $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{14 x - 3} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14 x - 3}$ como ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 14 x - 3$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $14 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.4

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.12

Multiplica $14$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.13

Suma $14$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.15

Combina $\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.16

Mueve $14$ a la izquierda de ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14 \cdot {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.17

Mueve ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.18

Factoriza $2$ de $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.7.19.1

Factoriza $2$ de $2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.19.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.7.19.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 1.3.8

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Paso 1.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.5.1

Reescribe $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Paso 1.5.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Paso 1.5.3

Reescribe ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{14 x - 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Paso 1.6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ por $\frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x} \cdot 7}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Paso 2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Paso 2.5

Mueve el término $14$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Paso 2.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $14$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.3

Resta $3$ de $28$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{4}}$

Paso 4.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{7 \cdot 2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{5}{14}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{14}$

Forma decimal:

$0.3\overline{571428}$