Cálculo Ejemplos

$\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ como ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 7.3

Mueve ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 14

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + 0)$

Paso 15

Simplifica los términos.

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Paso 15.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 15.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 15.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$