Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $9$ y en $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Paso 7.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $9$ y en $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3

Simplifica.

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Paso 7.1.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.4

Resta $1$ de $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.5

Cancela el factor común de $80$ y $2$ .

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Paso 7.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $80$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.5.2.4

Divide $40$ por $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.1.3.6

Multiplica $2$ por $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 7.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Paso 7.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Paso 7.3.3

Divide $9$ por $1$ .

$80 + \ln (9)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$80 + \ln (9)$

Forma decimal:

$82.19722457 \dots$

Paso 9