Cálculo Ejemplos

$\int 5 \cdot 5^{5 x} d x$

Paso 1

Multiplica $5$ por $5^{5 x}$ .

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Paso 1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$\int 5^{1} \cdot 5^{5 x} d x$

Paso 1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5^{1 + 5 x} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Paso 3

Combina $5^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u$

Paso 5

La integral de $5^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{1 + 5 x} + C$