Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Paso 6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Paso 8

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Paso 9

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 11

Combina $\sin (u_{2})$ y $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$