Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{5 x^{2} + 5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{5 x^{2} + 5})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $5$ y $5 x^{2} + 5$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 x^{2} + 5}]$

Paso 3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5}]$

Paso 3.1.1.2.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5 (1)}]$

Paso 3.1.1.2.3

Factoriza $5$ de $5 (x^{2}) + 5 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Paso 3.1.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

Paso 3.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Paso 3.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 3.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$