Cálculo Ejemplos

$y = x e^{- x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{- x})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} x'$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reordena los términos.

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$

Paso 3.6.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$

Paso 5.2

Reordena los factores en $- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$ .

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x} = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x' e^{- x}$ de $- x x' e^{- x} + x' e^{- x}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x' e^{- x}$ de $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1 = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1$ .

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ por $e^{- x} (- x + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ por $e^{- x} (- x + 1)$ .

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $- x + 1$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) + 1)}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) - 1 (- 1))}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x - 1))}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.4.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- 1 (x - 1))}$

Paso 5.4.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$