Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $2 \sqrt[3]{8}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

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Paso 1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8 + h}$ como ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.2

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $h$ es $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ y $g (h) = 8 + h$ .

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Paso 1.3.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.4

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.5

Como $8$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $8$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.12

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.13

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.14

Multiplica $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.15

Mueve ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.16

Combina $2$ y $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Suma $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Paso 4.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Paso 4.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{2}{12}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$