Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sqrt{1 - \sin (x)}}{x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - \sin (x)}$ como ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.2.2

Mueve ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 9.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 10

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \cos (x)) - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 11.1

Combina $\frac{x^{2}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 x)}{x^{4}}$

Paso 11.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x}{x^{4}}$

Paso 12

Combina $- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

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Paso 12.1

Mueve ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{x^{4}}$

Paso 12.2

Para escribir $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 12.3

Combina $- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 2 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 13

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 14

Multiplica ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1

Mueve ${(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x ({(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 14.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{\frac{2}{2}}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 14.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 15

Simplifica $- 4 x {(1 - \sin (x))}^{1}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$

Paso 16

Reescribe $\frac{\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4}}$ como un producto.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4}}$

Paso 17

Multiplica $\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x (1 - \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 18.2

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x - 4 x (- \sin (x))}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 18.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (x) - 4 x + 4 x \sin (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 18.3

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4

Factoriza $x$ de $- x^{2} \cos (x) + 4 x \sin (x) - 4 x$ .

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Paso 18.4.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + 4 x \sin (x) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4.2

Factoriza $x$ de $4 x \sin (x)$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) - 4 x}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4.3

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4.4

Factoriza $x$ de $x (- x \cos (x)) + x (4 \sin (x))$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4.5

Factoriza $x$ de $x (- x \cos (x) + 4 \sin (x)) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.5.1

Factoriza $x$ de $2 x^{4} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 18.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4)}{x (2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 18.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x \cos (x) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.6

Factoriza $- 1$ de $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + 4 \sin (x) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.7

Factoriza $- 1$ de $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.8

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.9

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.10

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x) - 4 \sin (x)) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.11

Reescribe $- (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ como $- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4)}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \cos (x) - 4 \sin (x) + 4}{2 x^{3} {(1 - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$