Cálculo Ejemplos

$\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$ como ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y $g (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 6.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 7.3

Mueve ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 12

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 13

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + 0)$

Paso 14

Suma $3 x^{2} + 8 x$ y $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$ .

$(3 x^{2} + 8 x) \frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 15.2

Multiplica $3 x^{2} + 8 x$ por $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 15.3

Factoriza $x$ de $3 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 15.3.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 8}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 15.3.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (3 x + 8)}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$