Cálculo Ejemplos

$- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x - y^{2} - 4 y + 3 y^{3} + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 5 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- 5 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- 5 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 5 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 - 2 y y' - 4 y' + 9 y^{2} y' + 2 x$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' + 2 x - 5 - 4 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 5 - 4 y' = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' + 9 y^{2} y' - 4 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + 9 y^{2} y' - 4 y' = - 2 x + 5$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 2 x + 5$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' (9 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 2 x + 5$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y + 9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (- 2 y + 9 y^{2} - 4) = - 2 x + 5$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ por $9 y^{2} - 2 y - 4$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (9 y^{2} - 2 y - 4) = - 2 x + 5$ por $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $9 y^{2} - 2 y - 4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (9 y^{2} - 2 y - 4)}{9 y^{2} - 2 y - 4} = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{9 y^{2} - 2 y - 4} + \frac{5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (2 x - 5)$ como $- 1 (2 x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 5)}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 5}{9 y^{2} - 2 y - 4}$