Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2 - 2 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $4 \ln (3 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) - 2 x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x^{2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Paso 1.1.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Paso 1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Paso 1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{\ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \frac{\ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{\ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$2 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.8

Suma $3$ y $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{1}{3 x - 2}$ y $3$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 2.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 2.3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 2.3.12

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.12.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 1 \cdot 2 x}$

Paso 2.3.12.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 2 x}$

Paso 2.3.13

Resta $2 x$ de $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{- 2 x}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{3}{3 x - 2}$ por $\frac{1}{- 2 x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) \cdot - 2 x}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{3}{- 2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) x}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{3}{2 (- 1)} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3}{2 \cdot - 1} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{- 1} \cdot \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5.2

Divide $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 2}$

Paso 5.4.3

Resta $2$ de $3$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$- 3 \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$