Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{6}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.2

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{6})}^{2}) \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 2.6

Mueve $6$ a la izquierda de $1 + {(\frac{x}{6})}^{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 7$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.11

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.12

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.13

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3.15

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6

Combina los términos.

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Paso 4.6.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.3

Combina $6$ y $\frac{x^{2}}{36}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $6$ y $36$ .

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Paso 4.6.4.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.4.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x \cdot x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x^{1}) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{1 + 1} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.11

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.12

Resta $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.13

Para escribir $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.14

Para escribir $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Paso 4.6.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $(6 + \frac{x^{2}}{6}) \cdot 6 {(x^{2} + 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.6.15.1

Multiplica $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ por $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Paso 4.6.15.2

Multiplica $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ por $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Paso 4.6.15.3

Reordena los factores de $(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Paso 4.6.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} + (- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$