Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Paso 1

Completa el cuadrado de $2 x^{2} + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Paso 1.4.2.2

Resta $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Paso 2

Sustituye $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 x^{2} + x$ en la ecuación $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Paso 3

Mueve $- \frac{1}{8}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{8}$ a ambos lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Paso 4

Completa el cuadrado de $2 y^{2} + y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Paso 4.4.2.2

Resta $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Paso 5

Sustituye $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 y^{2} + y$ en la ecuación $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Paso 6

Mueve $- \frac{1}{8}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{8}$ a ambos lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 7

Completa el cuadrado de $2 z^{2} + z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Paso 7.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 7.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 7.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 7.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Paso 7.4.2.2

Resta $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Paso 7.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Paso 8

Sustituye $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 z^{2} + z$ en la ecuación $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 9

Mueve $- \frac{1}{8}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{8}$ a ambos lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 10

Simplifica $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Paso 10.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Paso 10.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Paso 10.3

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Paso 10.4

Combina $9$ y $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Paso 10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Paso 10.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.6.1

Multiplica $9$ por $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Paso 10.6.2

Suma $72$ y $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Paso 11