Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{5 + x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 5 + x^{3}$ .

$\frac{(5 + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(5 + x^{3}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $5 + x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (3 x^{2})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{3} x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 (x^{2} x^{3})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{2 + 3}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 \cdot 5 + 3 x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 5 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (x^{2} x^{3}) - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{2 + 3} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta $3 x^{5}$ de $3 x^{5}$ .

$\frac{15 x^{2} + 0}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{15 x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{15 x^{2}}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$