Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ como ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ como ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ y $g (x) = 8 x^{2} - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 6.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 7.2

Combina ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 7.3

Mueve ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 9

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $8$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $16 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

Paso 13.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Paso 13.3

Combina $- 16$ y $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Paso 13.4

Combina $\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ y $x$ .

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$