Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Paso 1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 2.1.2

Multiplica $x + 8 x^{2}$ por $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 2.2

Mueve el término $64$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.1.2.5.1.4.1

Factoriza $8$ de $8^{2}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4.2

Cancela el factor común.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4.3

Reescribe la expresión.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.2.5.4

Divide $0$ por $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $64$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para $x$ .

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.6

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 3.1.3.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$64 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$64 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$64 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cdot 64 - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

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Paso 3.3.7.1

Mueve $64$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.2

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.4

Multiplica $2$ por $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Paso 3.3.9

Suma $128 x$ y $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{128}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Paso 4.4

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{8}$ para $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $64$ de $128$ .

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.3.1.2

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.4

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Paso 6.5

Multiplica $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Paso 6.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión.

$4$