Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 2 x}}{x}$

Paso 1

Factoriza $x$ de $5 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + 2 x}}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + x \cdot 2}}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x (5 x) + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x + 2)}}{x}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{1}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{1}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 5.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{1}$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Divide $5 + 2 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{5 + 2 \cdot 0}}{1}$

Paso 9.3.2

Divide $\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$ por $1$ .

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$

Paso 9.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\sqrt{5 + 0}$

Paso 9.3.4

Suma $5$ y $0$ .

$\sqrt{5}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{5}$

Forma decimal:

$2.23606797 \dots$