Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ y $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ en $e^{2}$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.5

Para escribir $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Paso 6.2.2.6

Combina $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Paso 6.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Paso 6.2.2.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

$e^{2}$ es aproximadamente $7.38905609$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

Paso 7.2

Expande $\ln (e^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

Paso 7.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Forma decimal:

$136.14293116 \dots$

Paso 9