Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \arctan (y)$ y $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Paso 3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $8 x x'$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Paso 3.7.2

Combina $8$ y $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Paso 3.7.3

Combina $x$ y $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Paso 3.7.4

Combina $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ y $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Paso 3.7.5

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Reordena los términos.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Paso 3.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.8.2.1

Reescribe ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.8.2.2

Expande $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.8.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.8.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.8.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.2.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.8.2.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Paso 3.8.2.3.2

Resta $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Paso 3.8.2.4

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Paso 3.8.2.5

Factoriza $2$ de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Paso 3.8.2.5.1

Factoriza $2$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Paso 3.8.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Paso 3.8.2.5.3

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Paso 3.8.2.5.4

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Paso 3.8.2.5.5

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.8.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.8.3.1

Factoriza $2$ de $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.8.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Paso 5.4

Divide cada término en $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $4 x$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.2.2.5

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $- 12$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.4.3.1.4.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4.2.3

Cancela el factor común.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Paso 5.4.3.1.4.2.5

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$