Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{4}{6}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 (2 x)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.5

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.2.6.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 14 x$ con respecto a $x$ es $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \cdot 1$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 14$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 14 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 14 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 7) (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 7) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $7$ en $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot {(7)}^{4} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot 2401 - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $2401$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 \cdot 343 - 7 {(7)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $343$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 {(7)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 \cdot 49$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 7$ por $49$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 343$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $- 686$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} - 343$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 686}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} \cdot \frac{6}{6} - 343$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 686}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} - 343$

Paso 4.1.2.2.4

Escribe $- 343$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1}$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{- 343}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{- 343}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343 \cdot 6}{6}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (7) = \frac{2401 - 686 \cdot 6 - 343 \cdot 6}{6}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 686$ por $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 343 \cdot 6}{6}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $- 343$ por $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 2058}{6}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.5.1

Resta $4116$ de $2401$ .

$f (7) = \frac{- 1715 - 2058}{6}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $2058$ de $- 1715$ .

$f (7) = \frac{- 3773}{6}$

Paso 4.1.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (7) = - \frac{3773}{6}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- \frac{3773}{6}$ .

$- \frac{3773}{6}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $7$ en $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ es $(7, - \frac{3773}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(7, - \frac{3773}{6})$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} - 7$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{6} - 7$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} - 7$

Paso 4.3.2.2.4

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7 \cdot 6}{6}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{1 + 2 \cdot 6 - 7 \cdot 6}{6}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 7 \cdot 6}{6}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $- 7$ por $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 42}{6}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.5.1

Suma $1$ y $12$ .

$f (- 1) = \frac{13 - 42}{6}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $42$ de $13$ .

$f (- 1) = \frac{- 29}{6}$

Paso 4.3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{29}{6}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{29}{6}$ .

$- \frac{29}{6}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ es $(- 1, - \frac{29}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, - \frac{29}{6})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(7, - \frac{3773}{6}), (- 1, - \frac{29}{6})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 2 {(- 1.1)}^{2} - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 2 \cdot 1.21 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 + 13.2 - 14$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $2.42$ y $13.2$ .

$f'' (- 1.1) = 15.62 - 14$

Paso 6.2.2.2

Resta $14$ de $15.62$ .

$f'' (- 1.1) = 1.62$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.62$ .

$1.62$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $1.62$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 7)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 - 14$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 14$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f'' (3) = 18 - 12 \cdot 3 - 14$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$f'' (3) = 18 - 36 - 14$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $36$ de $18$ .

$f'' (3) = - 18 - 14$

Paso 7.2.2.2

Resta $14$ de $- 18$ .

$f'' (3) = - 32$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 7.3

En $3$ , la segunda derivada es $- 32$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, 7)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 7)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.1$ en la expresión.

$f'' (7.1) = 2 {(7.1)}^{2} - 12 \cdot 7.1 - 14$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $7.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.1) = 2 \cdot 50.41 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $50.41$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 12 \cdot 7.1 - 14$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $7.1$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 85.2 - 14$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $85.2$ de $100.82$ .

$f'' (7.1) = 15.62 - 14$

Paso 8.2.2.2

Resta $14$ de $15.62$ .

$f'' (7.1) = 1.62$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1.62$ .

$1.62$

Paso 8.3

En $7.1$ , la segunda derivada es $1.62$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(7, \infty)$ .

Incremento en $(7, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$ .

$(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$

Paso 10