Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - x^{2} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$