Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Paso 1

Sea $u = t^{4} + 2 t$ . Entonces $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t^{4} + 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{4} + 2 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Paso 6.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$