Cálculo Ejemplos

$z = {(20 x - x y)}^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(20 x - x y)}^{3})$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $x$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 20 x - x y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $20 x - x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 x - x y$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

Paso 3.2.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y])$

Paso 3.2.4

Multiplica $20$ por $1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 + \frac{d}{d x} [- x y])$

Paso 3.2.5

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \cdot 1)$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(20 x - x y)}^{2} \cdot 20 + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

Paso 3.3.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $20$ por $3$ .

$60 {(20 x - x y)}^{2} + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 {(20 x - x y)}^{2} y$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$