Cálculo Ejemplos

$\int 2^{4 x^{2}} x d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{2}$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2^{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Combina $2^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{2^{u}}{8} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int 2^{u} d u$

Paso 4

La integral de $2^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{4 x^{2}} + C$