Cálculo Ejemplos

$x \cdot e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$