Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = π x^{2}$ . Entonces $d u = 2 \cdot x π d x$ , de modo que $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = π x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x^{2}$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$π (2 x)$

Paso 1.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π x$

Paso 1.1.5

Reordena $2 π$ y $x$ .

$x (2 π)$

Paso 1.1.6

Reordena $x$ y $2$ .

$2 \cdot x π$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = π \cdot 1$

Paso 1.5.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$u_{upper} = π$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Paso 2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2 π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2 π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

Paso 6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

Paso 7.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

Paso 7.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Paso 7.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$