Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4

Expande $(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.4

Resta $2$ de $1$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.6

Resta $2$ de $5$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 4.7

Reordena $- 4 x^{- 1}$ y $- 4 x^{3}$ .

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 8

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 9

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

Paso 10

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

Paso 11

Sea $u = 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 11.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Paso 12.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{7}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Paso 14

Combina $\frac{1}{7}$ y $5$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

Paso 15

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

Paso 16

Simplifica.

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$