Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 20 x}{4 x^{2} + 9}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $20 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $20$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}$

Paso 4.3

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + 9 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $20$ por $0$ .

$\frac{3 + 0}{4 + 9 \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{4 + 9 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{3}{4 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$