Cálculo Ejemplos

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

Paso 1.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Paso 3.5

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $y$ y $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$