Cálculo Ejemplos

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5^{x} + 5^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Paso 3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Paso 5.1.2

Reordena $y'$ y $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Paso 5.1.3

Reordena $5^{x} \ln (5)$ y $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

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Paso 5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Paso 5.2.1.2

Reordena los factores en $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Paso 5.4

Suma $- 5^{y} - 5^{x}$ y $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Paso 5.5

Resta $\ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.3.1.3

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 5.6.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 5.6.3.1.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$