Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}}{2}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $1 + t^{2}$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Paso 8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Factoriza $- 1$ de $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{2}$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Paso 9.4

Reescribe $- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ como $- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Paso 9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Paso 10.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Paso 10.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{1 + t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.6

Evalúa el límite.

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Paso 10.6.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Paso 10.6.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 10.6.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 10.6.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Paso 10.6.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$