Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Paso 3

Expande $(4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 4 x^{3} x^{- 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{3 - 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.4

Resta $2$ de $3$ .

$\int 4 x^{1} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.5

Simplifica.

$\int 4 x - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x - 8 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.7

Resta $2$ de $2$ .

$\int 4 x - 8 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 4 x - 8 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.9

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\int 4 x - 8 + 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.10

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int 4 x - 8 + x^{- 2} d x$

Paso 3.11

Mueve $- 8$ .

$\int 4 x + x^{- 2} - 8 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 8 x + C$

Paso 10

Simplifica.

$2 x^{2} - \frac{1}{x} - 8 x + C$