Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Paso 1

Sea $u = a^{4} + x^{4}$ . Entonces $d u = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = a^{4} + x^{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{4} + x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3

Como $a^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $a^{4}$ y $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Paso 1.5

Suma $a^{4}$ y $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $2 a^{4}$ y en $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3

Multiplica los exponentes en ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.9

Multiplica los exponentes en ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Paso 6.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Paso 6.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

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Paso 7.2.1

Combina $2^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ y $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Paso 7.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Paso 7.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$