Cálculo Ejemplos

$0 = - 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3})$

Paso 2

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} y')$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = 3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y' = 0$ .

$3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y' = 0$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y y' - 15 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y y'$ de $- 4 y y' - 15 y^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y y'$ de $- 4 y y'$ .

$y y' \cdot - 4 - 15 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y y'$ de $- 15 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot - 4 + y y' (- 15 y) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y y'$ de $y y' \cdot - 4 + y y' (- 15 y)$ .

$y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$ por $y (- 4 - 15 y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$ por $y (- 4 - 15 y)$ .

$\frac{y y' (- 4 - 15 y)}{y (- 4 - 15 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 4 - 15 y)}{y (- 4 - 15 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 4 - 15 y)}{- 4 - 15 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $- 4 - 15 y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 4 - 15 y)}{- 4 - 15 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4) - 15 y)}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 15 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4) - (15 y))}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (15 y)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4 + 15 y))}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.4.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Paso 5.4.3.5.3

Multiplica $\frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$