Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\sqrt{3 x} + 8}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$ como ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 (x))}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.7.3

Mueve ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.9

Como $3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.14.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.15

Combina fracciones.

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Paso 4.15.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.15.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.15.3

Combina $3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.15.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4.16

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 4.17

Combina fracciones.

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Paso 4.17.1

Suma $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.17.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.17.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.3.2

Reordena los términos.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$