Cálculo Ejemplos

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Paso 1.2

Resuelve $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ por $\sec^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 1.2.1.1

Divide cada término en $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 1.2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1.3.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Paso 1.2.1.3.2

Separa las fracciones.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Paso 1.2.1.3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 1.2.1.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Paso 1.2.1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.3.5.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 1.2.1.3.5.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 1.2.1.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.2.1.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 1.2.1.3.6

Separa las fracciones.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 1.2.1.3.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Paso 1.2.1.3.8

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Paso 1.2.1.3.9

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Paso 1.2.1.3.10

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.3.10.1

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Paso 1.2.1.3.10.2

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.1.3.10.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 1.2.1.3.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Paso 1.2.1.3.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Paso 1.2.1.3.11

Divide $8$ por $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Paso 1.2.2

Reescribe la ecuación como $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Paso 1.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $8 \cos^{3} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 1.2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 \cos (x)$ y $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.4.1

Aplica la regla del producto a $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.6

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 1.2.6.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.7

Establece $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 1.2.7.2

Resuelve $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ en $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.7.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.7.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.7.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.7.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 1.2.7.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Paso 1.2.7.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.7.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.7.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 1.2.9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.10

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.10.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 1.2.10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.10.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 1.2.10.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.10.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.2.10.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.10.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 1.2.10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 1.2.10.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 1.2.10.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.10.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

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Paso 1.2.11.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Paso 1.2.11.2

La inversa del coseno de $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ es indefinida.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

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Paso 1.2.12.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Paso 1.2.12.2

La inversa del coseno de $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ es indefinida.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Paso 1.2.13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $\frac{π}{3} + 2 π n$ por $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ por $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.5

Enumera todas las soluciones.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- \frac{π}{3}$ y $\frac{π}{3}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.3.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.6

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.8

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 3.9.1.2

Evalúa $\tan (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.2

Simplifica.

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Paso 3.9.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3

Simplifica.

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Paso 3.9.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.9.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.6

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.3.7.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.7.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.7.3

Reescribe la expresión.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Paso 3.9.3.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Paso 3.9.3.11

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Paso 3.9.3.12

Multiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Paso 3.9.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Paso 3.9.3.12.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Paso 3.9.3.13

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Paso 3.9.3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Paso 3.9.3.15

Resta $2 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$6 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$10.39230484 \dots$

Paso 5