Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $π$ es constante con respecto a $x$ , mueve $π$ fuera de la integral.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Paso 2

Expande ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(1 - x^{2})}^{2}$ como $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Paso 2.5

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Paso 2.6

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.11

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Paso 2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Paso 2.13

Suma $2$ y $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Paso 2.14

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Paso 2.15

Reordena $- 2 x^{2}$ y $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Paso 2.16

Mueve $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ y $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5} + x$ en $1$ y en $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.4

Suma $1$ y $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 10.2.3.6.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.7

Suma $0$ y $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.9

Suma $\frac{6}{5}$ y $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 10.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.2.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 10.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 10.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 10.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 10.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Paso 10.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.14

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Paso 10.2.3.15

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Paso 10.2.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Paso 10.2.3.17

Para escribir $\frac{6}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 10.2.3.18

Para escribir $- \frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.19

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.19.1

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.19.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.19.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Paso 10.2.3.19.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Paso 10.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Paso 10.2.3.21

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.21.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Paso 10.2.3.21.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Paso 10.2.3.21.3

Resta $10$ de $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Paso 10.2.3.22

Combina $π$ y $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Paso 10.2.3.23

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8 π}{15}$

Forma decimal:

$1.67551608 \dots$

Paso 12