Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $- 1$ para $θ$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1.1.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{- lim_{θ \to - 1} 2 θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to - 1} θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $θ^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $- 1$ para $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $- 1$ para $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.7.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.7.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{- 2 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.7.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 4}$

Paso 1.1.3.7.2

Suma $- 2$ y $6$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.7.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4} = lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $θ + 1$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 θ^{2} - 6 θ - 4$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 θ^{2}$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 6 θ]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 6 θ$ con respecto a $θ$ es $- 6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Paso 1.3.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $- 4 θ - 6$ y $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{1}{- lim_{θ \to - 1} 4 θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Paso 2.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 6}$

Paso 3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $- 1$ para $θ$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 6}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{4 - 6}$

Paso 4.1.3

Resta $6$ de $4$ .

$\frac{1}{- 2}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$