Cálculo Ejemplos

$y = \tan (7 x)$ , $y = 2 \sin (7 x)$ , $- \frac{π}{21} \leq x \leq \frac{π}{21}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$

Paso 1.2

Resuelve $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ por $\tan (7 x)$ y simplifica.

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Paso 1.2.1.1

Divide cada término en $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ por $\tan (7 x)$ .

$\frac{\tan (7 x)}{\tan (7 x)} = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $\tan (7 x)$ .

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Paso 1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\tan (7 x)}{\tan (7 x)} = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Paso 1.2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1.3.1

Separa las fracciones.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Paso 1.2.1.3.2

Reescribe $\tan (7 x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}$

Paso 1.2.1.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (7 x) \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Paso 1.2.1.3.4

Escribe $\sin (7 x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (7 x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Paso 1.2.1.3.5

Cancela el factor común de $\sin (7 x)$ .

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Paso 1.2.1.3.5.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (7 x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Paso 1.2.1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{2}{1} \cos (7 x)$

Paso 1.2.1.3.6

Divide $2$ por $1$ .

$1 = 2 \cos (7 x)$

Paso 1.2.2

Reescribe la ecuación como $2 \cos (7 x) = 1$ .

$2 \cos (7 x) = 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 \cos (7 x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 \cos (7 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (7 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (7 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $\cos (7 x)$ por $1$ .

$\cos (7 x) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$7 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$7 x = \frac{π}{3}$

Paso 1.2.6

Divide cada término en $7 x = \frac{π}{3}$ por $7$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Divide cada término en $7 x = \frac{π}{3}$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Paso 1.2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 1.2.6.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Paso 1.2.6.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.3.2.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \frac{π}{21}$

Paso 1.2.7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$7 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.8

Resuelve $x$

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Paso 1.2.8.1

Simplifica.

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Paso 1.2.8.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$7 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.8.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$7 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 1.2.8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 1.2.8.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$7 x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 1.2.8.1.5

Resta $π$ de $6 π$ .

$7 x = \frac{5 π}{3}$

Paso 1.2.8.2

Divide cada término en $7 x = \frac{5 π}{3}$ por $7$ y simplifica.

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Paso 1.2.8.2.1

Divide cada término en $7 x = \frac{5 π}{3}$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Paso 1.2.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.8.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.2.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Paso 1.2.8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Paso 1.2.8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 1.2.8.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Paso 1.2.8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 7}$

Paso 1.2.8.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \frac{5 π}{21}$

Paso 1.2.9

Obtén el período de $\cos (7 x)$ .

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Paso 1.2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.9.2

Reemplaza $b$ con $7$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 7 |}$

Paso 1.2.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$\frac{2 π}{7}$

Paso 1.2.10

El período de la función $\cos (7 x)$ es $\frac{2 π}{7}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{7}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}, \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Paso 1.3.2

Sustituye $\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ por $x$ en $y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{21} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{7 (3)} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{7 \cdot 3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.3.2.2.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.3.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (7 (\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Paso 1.4.2

Simplifica $2 \sin (7 (\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ .

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Paso 1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{21} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{7 (3)} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{7 \cdot 3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Paso 1.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Paso 1.5

Enumera todas las soluciones.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) d x - \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \tan (7 x) d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- \frac{π}{21}$ y $\frac{π}{21}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - (\tan (7 x)) d x$

Paso 3.2

Reescribe $\tan (7 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} d x$

Paso 3.3

Convierte de $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ a $\tan (7 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - \tan (7 x) d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) d x + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \sin (7 x) d x + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.6

Sea $u_{1} = 7 x$ . Entonces $d u_{1} = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.6.1

Deja $u_{1} = 7 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.6.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.6.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 3.6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 (- \frac{π}{21})$

Paso 3.6.3

Simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{21}$ al numerador.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{21}$

Paso 3.6.3.1.2

Factoriza $7$ de $21$ .

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 (3)}$

Paso 3.6.3.1.3

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 \cdot 3}$

Paso 3.6.3.1.4

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Paso 3.6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Paso 3.6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{21}$

Paso 3.6.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.6.5.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 (3)}$

Paso 3.6.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 \cdot 3}$

Paso 3.6.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 3.6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 3.6.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.7

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{7}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{7} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.8

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{7}$ y $2$ .

$\frac{2}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.10

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Paso 3.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \tan (7 x) d x$

Paso 3.12

Sea $u_{2} = 7 x$ . Entonces $d u_{2} = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Deja $u_{2} = 7 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.12.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 3.12.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 3.12.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 (- \frac{π}{21})$

Paso 3.12.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{21}$ al numerador.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{21}$

Paso 3.12.3.1.2

Factoriza $7$ de $21$ .

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 (3)}$

Paso 3.12.3.1.3

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 \cdot 3}$

Paso 3.12.3.1.4

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Paso 3.12.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Paso 3.12.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{21}$

Paso 3.12.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.12.5.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 (3)}$

Paso 3.12.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 \cdot 3}$

Paso 3.12.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 3.12.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 3.12.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{7} d u_{2}$

Paso 3.13

Combina $\tan (u_{2})$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{7} d u_{2}$

Paso 3.14

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Paso 3.15

La integral de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{7} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 3.16

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.16.1

Evalúa $- \cos (u_{1})$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{7} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 3.16.2

Evalúa $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{7} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Paso 3.16.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{2}{7} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Paso 3.17

Simplifica.

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Paso 3.17.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Paso 3.17.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Paso 3.17.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Paso 3.17.4

Combina $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.5

Para escribir $\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{7}{7} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.6

Combina $\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 7}{7} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 7 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.8

Combina $7$ y $\frac{2}{7}$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.9

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{\frac{14}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.10

Cancela el factor común de $14$ y $7$ .

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Paso 3.17.10.1

Factoriza $7$ de $14$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.17.10.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.17.10.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.18.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.18.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.18.6.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.6.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{7}$

Paso 3.18.6.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{7}$

Paso 3.18.6.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{7}$

Paso 3.18.7

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{7}$

Paso 3.18.8

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{7}$

Paso 3.18.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{7}$

Paso 3.18.10

Reduce la expresión $\frac{0 + 0}{7}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.18.10.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$\frac{7 (0) + 0}{7}$

Paso 3.18.10.2

Factoriza $7$ de $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{7}$

Paso 3.18.10.3

Factoriza $7$ de $7 \cdot 0 + 7 \cdot 0$ .

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7}$

Paso 3.18.10.4

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7 (1)}$

Paso 3.18.10.5

Cancela el factor común.

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7 \cdot 1}$

Paso 3.18.10.6

Reescribe la expresión.

$\frac{0 + 0}{1}$

Paso 3.18.11

Divide $0 + 0$ por $1$ .

$0 + 0$

Paso 3.18.12

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4