Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{3 \sqrt[5]{x^{3}}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}]$

Paso 2

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ como ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}]$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}]$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1})$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}})$

Paso 8.2

Resta $5$ de $- 3$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}})$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}})$

Paso 10

Combina $x^{- \frac{8}{5}}$ y $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5})$

Paso 11

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ .

$- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3)}{3 \cdot 5}$

Paso 12

Multiplica.

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Paso 12.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{3 \cdot 5}$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{15}$

Paso 12.3

Mueve $x^{- \frac{8}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{12}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Paso 13

Factoriza $3$ de $12$ .

$- \frac{3 (4)}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $3$ de $15 x^{\frac{8}{5}}$ .

$- \frac{3 (4)}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{5 x^{\frac{8}{5}}}$