Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{- 6}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.6

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.5

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.6.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

Paso 1.5.4

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.7

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.4.8

Resta $4$ de $1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.5.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.5.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.5.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.5.8

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

Paso 2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2.6.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2.6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2.6.3.3

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

Paso 2.6.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ .

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$