Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + 3$ , $[2, 8]$ , $n = 3$

Paso 1

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{8} 2 x + 3 d x - \int_{2}^{8} 3 d x$

Paso 2

Integra para obtener el área entre $2$ y $8$ .

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Paso 2.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - (3) d x$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - 3 d x$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 2.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

$\int_{2}^{8} 2 x d x$

Paso 2.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{2}^{8} x d x$

Paso 2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{8})$

Paso 2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{8})$

Paso 2.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $8$ y en $2$ .

$2 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2

Simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{64}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.2

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 2.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{32}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.2.2.4

Divide $32$ por $1$ .

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 2.6.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 (32 - \frac{4}{2})$

Paso 2.6.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.6.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Paso 2.6.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Paso 2.6.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Paso 2.6.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (32 - \frac{2}{1})$

Paso 2.6.2.2.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

Paso 2.6.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (32 - 2)$

Paso 2.6.2.2.6

Resta $2$ de $32$ .

$2 \cdot 30$

Paso 2.6.2.2.7

Multiplica $2$ por $30$ .

$60$

Paso 3